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Beweisen verstehen

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Beweisen verstehen
Leitfaden zum Herangehen an mathematische Beweise für deine nächste Klausur.
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1. Einführung

Stelle dir vor, du hast gerade dein Abitur erfolgreich bestanden und fieberst bereits dem ersten Vorlesungstag deines Mathe-Studiums entgegen. Vielleicht wirst du aber auch Informatik studieren oder irgendein anderes Fach aus dem MINT (Mathematik, Informatik, Naturwissenschaft und Technik-Bereich). Voller Vorfreude und Elan stürmst du in die Bibliothek, um dich mit ausreichend Fachliteratur einzudecken, die du in den wenigen Monaten zwischen Schul- und Uni-Leben inhalieren willst. Zusätzlich dazu meldest du dich für den Mathematik-Vorkurs deines Studienstandorts an und fühlst dich durch dieses volle Programm bereits ausgebrannt, bevor du auch nur für eine Sekunde einen Hörsaal von innen gesehen hast. Und das Schlimmste: Die meisten Inhalte, die du in deinem ehrgeizigen Selbststudium erlernst, werden dir nur kurz-, aber nicht langfristig helfen. Weitaus wichtiger wäre es, wenn du statt einer ausführlichen Erklärung, was man unter den komplexen Zahlen versteht oder wie man eine arithmetische von einer geometrischen Folge unterscheidet, wenn du an die Denkweise eines Mathematikers bzw. das Ausbilden von Computational Thinking herangeführt wirst. Was man unter Computational Thinking versteht und weshalb es eine für die Zukunft so wichtige Fähigkeit ist, erfährst du in dem folgenden Video:
Für einen sehr langen Zeitraum deines Studiums wirst du dich mit mathematischen Beweisen beschäftigen, da sie die Grundvoraussetzung für eine widerspruchsfreie Mathematik sind. Der deutsche Mathematiker Julius Wilhelm Richard Dedekind sagte \(1888\):

"Was beweisbar ist, soll in der Wissenschaft nicht ohne Beweis geglaubt werden."

Und mit genau dieser Skepsis solltest du mathematische Aussagen fortan betrachten. Ohne Beweise könnte jeder behaupten, dass es unendlich viele Primzahlen gibt oder dass \(5^n-1\) für alle natürlichen Zahlen \(n\) ohne Rest durch \(4\) teilbar ist. Erst, wenn man durch hieb- und stichfeste mathematische Argumente zweifelsfrei nachweisen kann, dass eine Behauptung wahr ist, sollte man auf ihr weiter aufbauen. Da die Mathematik ein gewaltiges Gedankenkonstrukt ist, das (in seiner Intensität wie kaum eine andere Disziplin) auf vielen Säulen (Definitionen, Sätze, Lemmata etc.) aufbaut, ist es kaum verwunderlich, dass Beweise jeden neu eingeführten Zusammenhang durchziehen. Deshalb solltest du dich vorrangig darauf vorbereiten und Themen wie Folgen und Reihen, das Horner-Schema oder das Berechnen von Interpolationspolynomen hinten anstellen. Wie bereits erwähnt werden diese Themen ohnehin noch einmal im Studium (und dort dann mit Beweisen) durchgenommen.
Obwohl es sich dabei um ein so fundamental wichtiges Werkzeug handelt, gehen viele Professoren anscheinend davon aus, dass ihre Studenten diese Fähigkeit bereits mitbringen oder sie diese durch das Lesen dutzender Beweise ausbilden. Würde diese Methode wirklich funktionieren, dann könnte man auch eine völlig fremde Sprache erlernen, indem man nur lange genug anderen beim Sprechen zuhört ohne dabei Grammatikregeln oder Vokabeln lernen zu müssen. Dass das so nicht geht, sieht man schnell ein. Du kannst natürlich eine Sprache auf diese Weise bis zu einem bestimmten Level lernen, doch das Ergebnis ist dann zumeist sehr bescheiden. Genauso verhält es sich auch bei Beweisen: Wenn du nur lange genug Aufgaben zur vollständigen Induktion siehst, wirst du schon irgendwann ähnliche Probleme lösen können. Doch du wirst dadurch sehr unwahrscheinlich ein Level erreichen, an dem du komplett eigene Beweisgedanken fassen, die z. B. gar keine vollständige Induktion benötigen. Es ist für den Anfang erstmal viel mehr wert zu wissen, wann du z. B. das Beweisprinzip der vollständigen Induktion anwendest als wie genau du einen Induktionsbeweis führst. Es ist viel mehr wert zu erkennen, wann es sinnvoller ist einen indirekten anstelle eines direkten Beweises zu wählen als sich daran zu erinnern, dass am Ende eines Beweises ein q.e.d. oder \(\square\) steht.
Statt zum wiederholten Mal den kleinen Gauß aufzuschreiben, kannst du die Gauß'sche Summenformel z. B. auch anschaulich durch graphische Überlegungen beweisen. Sieh dir dazu das folgende Video an.

2. Der Beweis-Leitfaden

Dieser Abschnitt ist als Leitfaden zu verstehen, mit dessen Hilfe du an Beweisprobleme herangehen kannst. Bevor du dich aber nun durch mehrere Seiten Text mit einem sehr konstruiert wirkenden und unverständlichen Beispiel kämpfst (wie es in den meisten Lehrbüchern der Fall ist), kannst du dir das folgende Video ansehen, in dem du anhand eines Beispiels aus der Zahlentheorie erklärt bekommst, wie man an einen Beweis herangehen kann. Du bekommst dabei eine Vorgehensweise präsentiert, mit der du einen Beweis strukturiert angehen kannst, ohne dich verloren fühlen zu müssen.
Hast du dir während des Videos Notizen gemacht? Falls nein, kannst du trotzdem unbesorgt sein: Du erhältst nun eine Kurzübersicht über die im Video besprochenen Phasen der Beweisführung und bekommst diese Vorgehensweise anhand von zwei weiteren Beispielen erklärt.
Zum Beweis einer Aussage der Form \(A\Longrightarrow B\) können die folgenden Phasen durchlaufen werden:
  1. Analyse
  2. Übersetzung
  3. Verständnis/Tests
  4. Entwicklung der Beweisidee
  5. Aufschreiben des Beweises
Damit du in einer Klausuren- oder Übungsblattsituation auch weißt, was mit den einzelnen Phasen gemeint ist, wirst du nun noch einmal detailliert jeden Schritt beschrieben bekommen (sofern dir die Inhalte aus dem vorangegangenen Video noch nicht ausgereicht haben sollten).

2.1 Analyse

Die Analysephase ist dein erster Berührungspunkt mit der Behauptung, die es zu beweisen gilt. Markiere dir zuerst alle Fachbegriffe, die unklar sind. Diese werden im weiteren Verlauf eine wichtige Rolle spielen. Wie bei einer Satzanalyse im Deutsch- oder Lateinunterricht identifizierst du in der Analyse außerdem die relevanten Bestandteile. Jede Behauptung lässt sich in der Form $$A\Longrightarrow B$$ schreiben, wobei \(A\) die Prämisse und \(B\) die Konklusion (also die Schlussfolgerung) ist. Die Prämisse kann sich wiederum aus verschiedenen Teilaussagen \(A_1, A_2, ..., A_n\) zusammensetzen, die durch und, oder etc. miteinander kombiniert werden. Zerlege also die Behauptung in Teilaussagen, die durch aussagenlogische Operatoren miteinander kombiniert werden.

2.2 Übersetzung

Alle Begriffe, die du im \(1.\) Schritt markiert hast, werden nun übersetzt. Am Ende sollst du die unklaren Begriffe verstanden haben. Hierfür schlägst du in deinem Vorlesungsskript oder den Werken aus der Literaturempfehlung nach, wie genau die markierten Begriffe definiert wurden. Versuche am Ende dieser Übersetzungsphase die zu beweisende Behauptung in eigenen Worten wiederzugeben (ohne die Übersetzung anzusehen).
Dieser Schritt ist nur für dich gedacht und kein Bestandteil des Beweises. Wenn du nichts markieren musstest, gibt es an dieser Stelle nichts für dich zu tun.

2.3 Verständnis/Tests

Um ein Gefühl für die Behauptung zu bekommen und das Problem zu verstehen, kannst du einige Tests durchführen. Dies sieht z. B. so aus, dass du verschiedene Zahlenwerte in eine zu beweisende Formel einsetzt oder dich geometrisch bzw. anschaulich davon überzeugst, dass an der Behauptung etwas dran ist. Dieses Testen mit bestimmten Fällen ist natürlich noch kein Beweis, aber es hilft dir, ein Verständnis für die Problematik zu entwickeln.

2.4 Entwicklung der Beweisidee

Dieser Schritt ist der aufwendigste bzw. zeitintensivste. Leider gibt es hierfür keinen Algorithmus, d. h. du musst dich beim Beweisen immer wieder auf neue Situationen einstellen. Das kann aber natürlich auch ein Vorteil sein, denn so wird die Mathematik nicht langweilig. Mit der Zeit stellt sich aber trotzdem eine gewisse Routine ein. Je mehr Beweise mit cleveren Tricks und Gedankengängen du siehst, desto schneller entwickelst du ein Gefühl dafür, wie man ein bestimmtes Problem oder eine Problemklasse lösen kann. Am Anfang deiner Überlegungen könnte z. B. die Frage stehen, ob du die Behauptung direkt beweisen (\(A\Longrightarrow B\)) sollst oder ob es sinnvoller wäre, einen indirekten Beweis (\(\overline{B}\Longrightarrow\overline{A}\)) zu führen. Möglicherweise ist ein Beweis durch Widerspruch auch eine sinnvolle Herangehensweise. Danach beginnt die Phase, in der du über das Problem nachdenkst (alleine oder mit anderen). Probiere verschiedene Ansätze aus. Auch wenn du nicht direkt auf einen sinnvollen Lösungsansatz kommst, solltest du nicht verzweifeln. Im Gegenteil: Es wäre ziemlich außergewöhnlich, wenn du immer direkt beim ersten Mal einen Ansatz findest, der nahtlos zum Ziel führt. Nur durch die Betrachtungsweise des Problems von mehreren Seiten wirst du langfristig davon profitieren. Du musst die Gedankenprozesse selbst durchlaufen, um dein Gehirn auf Beweisen zu trimmen. Die Lösung einfach nachzuschauen ist das Gefährlichste, was du tun kannst. Auch (vermeintliche) Tipps in der Lösung zu suchen ist nicht zielführend, da du dir so möglicherweise den einen (scheinbar unbedeutenden) Gedankengang vorwegnimmst.
Bei einigen Beweisen gestaltet sich das Finden der Beweisidee besonders leicht, da es ein Beweisschema gibt, das du letztendlich wie einen Algorithmus abspulen kannst. Wenn in der Behauptung z. B. "für alle natürlichen Zahlen\(\mathbb{N}\)" steht, dann ist das ein Indikator dafür, dass hier das Beweisprinzip der vollständigen Induktion angewendet werden kann. Dieses läuft nach einem einfachen Algorithmus bzw. einer Klasse von verschiedenen Algorithmen ab.

2.5 Aufschreiben des Beweises

Ein Beweis ist erst dann wirklich sauber, wenn er nachvollziehbar und lückenlos dokumentiert ist. Stelle dir vor, dass dein Beweis in einem Gerichtsverfahren standhalten müsste. Dort werden Schlampereien ebenfalls mit Zweifeln und im schlimmsten Fall mit einer Nichtanerkennung bestraft. Erschwerend kommt hinzu, dass du (anders als bei der Beweisidee) zuerst aufschreiben musst, was genau gesucht ist und dann erst den Leser durch logische Schlüsse davon überzeugen musst, dass die Behauptung stimmt und dein Beweis keine gedanklichen Sprünge bzw. Widersprüche enthält. Wie sieht das konkret aus?
2.5.1 Notiere, was gegeben ist, d. h. gib die Prämissen \(A_1, A_2, ..., A_n\) an.

2.5.2 Schreibe auf, was gezeigt werden soll, d. h. formuliere die Schlussfolgerung \(A_1\wedge A_2\wedge ...\wedge A_n\Longrightarrow B\).

2.5.3 Schreibe deine in Schritt \(4\) entwickelte Beweisidee mathematisch präzise nieder. Achte darauf, dass dein Beweis eine angemessene Detailtiefe besitzt. Wenn du z. B. in der Vorlesung den Begriff der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) kennengelernt hast, brauchst du bei Beweisen in der Analysis nicht immer wieder bis ins kleinste Detail erklären, was man unter den reellen Zahlen versteht, wie sie aufgebaut sind usw.. Du darfst deinem Leser schon ein gewisses Maß an mathematischer Vorbildung zugestehen. Anders kann es z. B. bei Beweisen zu Gruppen aussehen. Wenn du zeigen sollst, dass \((\mathbb{R},+)\) eine Gruppe ist, ist sehr wohl nötig, dass du erklärst, welche Eigenschaften eine Gruppe hat, denn darüber identifizierst du schließlich, ob \((\mathbb{R},+)\) eine Gruppe ist oder nicht. Mit erklären ist jedoch nicht gemeint, dass du Beispiele für die einzelnen Eigenschaften suchst und wie in der Vorlesung den Begriff der Gruppe einführst. Es genügt bereits die Nennung der Gruppenaxiome (also die Eigenschaften), für die du dann begründest, weshalb die vorgegebene algebraische Struktur (hier \((\mathbb{R},+)\)) diese besitzt. Zeitgleich brauchst du nicht alle Eigenschaften der reellen Zahlen über mehrere Seiten ausführen, sondern kannst dich auf die Punkte beschränken, die für den Nachweis der Abgeschlossenheit, Assoziativität, Existenz eines neutralen Elements und der Existenz eines Inversen für jedes Element der Grundmenge (das sind die Eigenschaften einer Gruppe) vonnöten sind. Grundsätzlich gilt also:

So viel wie nötig und so wenig wie möglich!

Im Zweifelsfall ist es jedoch besser zu viel als zu wenig zu erklären.

3. Tipps

Zum Ende dieses Beweisrezepts sollst du noch einige hilfreiche Tipps an die Hand bekommen, die dir bei der Anwendung der vorgestellten Herangehensweise an Beweisaufgaben zugutekommen werden.
- Baue auf dem auf, was du bereits selbst bewiesen hast bzw. was bereits in der Vorlesung bewiesen wurde. Es geht (wie bereits erwähnt) nicht darum, dass du weißt wie man konkret die Idempotenz bezüglich der Konjunktion \(\wedge\) beweist, sondern dass du mathematisch sauber argumentieren und logische Schlüsse ziehen kannst. Wenn dir dein Professor also sagt, dass du die Summenformel \(2+4+6+...+2\cdot n=n\cdot (n+1)\) beweisen sollst, dabei aber nicht von \(1+2+3+...+n=0,5\cdot n\cdot (n+1)\) ausgehen darfst und du in deinem Beweis trotzdem davon ausgehst, dann ist dein Beweis nicht viel wert.
- Lasse einen (oder auch mehrere) deiner Kommilitonen deinen Beweis lesen. Wenn du auf jede Rückfrage zu deiner Beweislogik eine plausible Antwort parat hast, dann ist dein Beweis sehr wahrscheinlich korrekt. Zudem schärfst du dadurch deine eigene mathematische Argumentationsfähigkeit und erhältst ein noch klareres Bild der Vorlesungsinhalte, da du beim Antworten auf Rückfragen oft mehr als das nur für deinen Beweis verwendete Wissen gedanklich abrufen musst.
- Gehe in die Übungen und lasse dir von dem Übungsleiter erklären, ob der von dir geführte Beweis zu schwammig oder zu detailliert beschrieben ist. Viele Studenten können die Unsicherheit, die sie beim Beweisen hatten, nur schwer verbergen. So kommen dann Argumentationslücken und gedankliche Sprünge zustande, die dann wiederum zu Punktabzug führen können. Eine solche Unsicherheit kann sich aber auch durch zu viel Liebe zum Detail bemerkbar machen. Wenn ein Student sich für einen eigentlich trivialen (und leicht zu beweisenden) Sachverhalt in seitenlangen prosaischen Ausführungen darüber ergeht, weshalb die Behauptung doch stimmen muss, dann ist das oft ein Indikator von mangelndem Verständnis. Man hat dann den Eindruck, dass der Student den Wald vor lauter Bäumen nicht sieht. Um das zu verhindern, solltest du deinen Beweis unbedingt noch einmal Korrektur lesen.
- Du bekommst "ein Händchen" für das Finden von Beweisideen, wenn du von anderen Beweisen lernst. Es ist wichtig zu verstehen, wie derjenige, der den Beweis formuliert hat, auf die einzelnen Schritte gekommen ist. Durch dieses Hinterfragen kannst du dir die einzelnen Schritte auch leichter merken, da sie so einen Sinn ergeben. Auf diese Weise lernst du mit der Zeit auch Tricks und Kniffe kennen, die du leicht adaptieren kannst. Ein Klassiker ist z. B. das Addieren von \(0\) in Form von \(a-a\). Bei Beweisen von Teilbarkeitszusammenhängen durch vollständige Induktion wird dieser Trick in sehr vielen Fällen angewendet. Wenn du diesen Trick häufiger siehst und dir von einem Tutor den Grund dahinter erklären lässt, wird es dir völlig natürlich erscheinen, für diese Probleme aus dieser Art Terme wie \(2-2\) oder \(42-42\) zu addieren und damit dann weiter zu rechnen.
Zu Beginn dieses Leitfadens wurde erwähnt, dass man Beweisen nicht durch das Lesen vieler Beweise lernt. Wieso wird jetzt hier auf einmal empfohlen, doch Beweise durchzulesen? Der Unterschied zu der Einstellung deiner Professoren ist dabei, dass du mit dem nötigen Werkzeug ausgerüstet an solche Beweise herangehst. Du bekommst (wenn du dich wieder im Kontext des Sprachenlernens befindest) sozusagen die Grammatikregeln und einige Vokabeln beigebracht, mit deren Hilfe du dann wiederum die vorher unverständlichen Texte nachvollziehen kannst. Da du in diesem Abschnitt den Leitfaden für das Führen von Beweisen mental aufgesogen hast, wird es dir leichter fallen den Beweisführungen von anderen Personen zu folgen.