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Dezimal in Binär mit Komma umrechnen

1. Einführung

Auch Dezimalzahlen mit Komma (z. B. \(4.2\)) können in das Binärsystem überführt werden. Dabei kann es zu dem interessanten Umstand kommen, dass eine Zahl mit endlich vielen Nachkommastellen (z. B. \(0.3\)) im Binärsystem eine unendlich lange periodische Zahl darstellt.

2. Der Algorithmus

Algorithmus: Dezimal in Binär mit Komma umrechnen

Eingabe: Zahl \(p\) mit Komma im Dezimalsystem
Ausgabe: Zahl mit Komma im Binärsystem
  1. Berechne die Stellen vor dem Komma durch den Algorithmus Dezimal in Binär umrechnen.
  2. Notiere (nur) die Nachkommastellen, also z. B. \(0.3\) für \(42.3\).
  3. Multipliziere die Nachkommastelle mit \(2\).
  4. Substrahiere \(1\) von dem Ergebnis aus Schritt 3, wenn ein Wert größer als oder gleich \(1\) herausgekommen ist oder addiere (gedanklich) \(\pm 0\), falls der Wert aus Schritt 3 kleiner als \(1\) war.
  5. Wiederhole Schritt 4 so lange, bis nach der Subtraktion entweder als Ergebnis \(0\) herauskommt oder nach endlich vielen Schritten eine Periodizität (z. B. \(0.010011001100110011001...\) erkennbar ist.
  6. Lies das Ergebnis ab. Das machst du durch Hintereinanderschreiben der Einsen (falls das Ergebnis größer als oder gleich \(1\) war und eine Subtraktion stattgefunden hat) und Nullen (falls das Ergebnis kleiner als \(1\) war und keine Subtraktion stattgefunden). Anders als bei den Vorkommastellen, liest du die Werte von „oben“ nach „unten“ ab.

Beispiel 1: Gesucht ist die Darstellung der Dezimalzahl \(3.5\) im Binärsystem. Für die Stellen vor dem Komma verwendest du standardmäßig den Algorithmus Dezimal in Binär umrechnen.

\(3\div 2 = 1\text{ R: }1\)
\(1\div 2 = 0\text{ R: }1\)
Die Stelle vor dem Komma lautet also \(11\).

Für die Stellen nach dem Komma betrachtest du den Ausdruck \(0.5\) und gehst wie oben beschrieben vor:
\(0.5\cdot 2 = 1\mid -1\)
\(0\cdot 2 = 0\mid\pm 0\)
\(...\)

Es gibt offenbar nur eine Stelle hinter dem Komma, nämlich die \(1\). Zusammengesetzt lautet das Ergebnis also:
\(11.1\)

Beispiel 2: Gesucht ist die Darstellung der Dezimalzahl \(3.3\) im Binärsystem. Es kann durchaus passieren, dass niemals der Wert \(0\) durch Subtraktion der \(1\) entstehen kann. In diesem Fall liegen periodische Nachkommastellen vor. Dies trifft z. B. auf die \(3.3\) zu. Hier werden nur die Nachkommastellen betrachtet, da die Vorkommastellen bereits in dem vorangegangenen Beispiel berechnet wurden:
\(0.3\cdot 2=0.6\mid\pm 0\)
\(0.6\cdot 2=1.2\mid-1\)
\(0.2\cdot 2=0.4\mid\pm 0\)
\(0.4\cdot 2=0.8\mid\pm 0\)
\(0.8\cdot 2=1.6\mid-1\)
\(0.6\cdot 2=1.2\mid-1\)

In der letzten Zeile kannst du sehen, dass sich der Zyklus ab dem Ergebnis \(1.2\) (zweite Zeile) nun ab der sechsten Zeile wiederholt. Dies setzt sich periodisch bis ins Unendliche fort. Die Nachkommastellen sind also:
\(0.0\overline{1001}\)

Wichtig: Die Nachkommastellen werden von „oben“ nach „unten“ abgelesen. Das Endergebnis lautet demzufolge \(11.0\overline{1001}\).

3. Dezimal in Binär Rechner (mit Komma)

Mit dem folgenden Tool kannst du die Umwandlung von Dezimalzahlen mit Komma in Binärzahlen mit Komma vornehmen und bekommst dabei eine ausführliche Schritt-für-Schritt-Lösung präsentiert. Trage dazu deine gewünschte Zahl in das Eigabefeld ein und drücke anschließend den Button 'In Binärzahl mit Komma umrechnen'.




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