Unendlich ist keine Zahl!

Auch wenn das Symbol \(\infty\), das für die Unendlichkeit steht, nichts anderes als eine um \(90\°\) gedrehte \(8\) ist, macht es die Unendlichkeit noch lange nicht zur Zahl. Merke dir ein für allemal: Unendlich ist keine Zahl! Auch die Tatsache, dass dir diese Annahme oftmals mühsame mathematische Argumentationsarbeit ersparen würde, ändert nichts daran und würde zu falschen Ergebnissen führen. Fangen wir doch mal mit einem einfachen Beispiel an. Was würdest du erwarten, wenn du $$\infty+\infty$$ berechnest? \(2\cdot \infty\)? Nein! \(\infty+\infty=\infty\). Warum das so ist, werden wir in einem anderen Video besprechen. Du sollst jetzt erstmal lernen, dass man mit \(\infty\) auf keinen Fall wie mit einer Zahl rechnen sollte. Das führt in Klausuren nur zu vermeidbaren Punktabzügen. Wenn \(\infty+\infty=\infty\), kann man dann $$\infty-\infty=0$$ schreiben? Nein, auf gar keinen Fall! Das ist ein falscher Freund. Es handelt sich hierbei um einen unbestimmten Ausdruck. Davon hast du sicherlich schon einmal gehört, wenn du dich mit der Regel von L'Hospital beschäftigt hast. Weitere solcher unbestimmter Ausdrücke sind:

• \(\frac{\infty}{\infty}\) (Nein, das kürzt sich nicht zu \(1\)),
• \(\infty^0\) (Nein, das ergibt nicht \(1\)),
• \(\infty\cdot 0\) (Nein, das ergibt nicht \(0\); auch \(0\cdot \infty\) ist nicht \(0\)) und
• \(1^{\infty}\) (Nein, das ergibt nicht \(1\), auch wenn diese Überlegung verlockend ist).

Besonders der letzte unbestimmte Ausdruck ist sehr heimtückisch, weil man meint, dass \(1\) unendlich oft mit sich selbst multipliziert doch einfach \(1\) ist. Bedenke aber, dass unendlich keine Zahl ist. Es handelt sich bei \(1^{\infty}\) um einen nicht definierten Ausdruck. Fassen wir also noch einmal zusammen, wovon du in einer Klausur nicht ausgehen darfst:

• \(\infty-\infty=0\)
• \(\frac{\infty}{\infty}=1\)
• \(\infty^0=1\)
• \(\infty\cdot 0=0\cdot\infty=0\)
• \(1^{\infty}=1\)

Zum Schluss solltest du aber noch erfahren, dass es unbestimmte Ausdrücke nicht nur im Zusammenhang mit der Unendlichkeit gibt. Auch mit der \(0\) lassen sich zwei einfache unbestimmte Ausdrücke formulieren:

• \(0^0\) (das ist weder \(1\), noch \(0\)) und
• \(\frac{0}{0}\) (das kürzt sich weder zu \(1\), noch zu \(0\))