Auch wenn das Symbol \(\infty\), das für die Unendlichkeit steht, nichts anderes als eine um \(90\°\) gedrehte \(8\) ist, macht es die Unendlichkeit noch lange nicht zur Zahl. Merke dir ein
für allemal: Unendlich ist keine Zahl! Auch die Tatsache, dass dir diese Annahme oftmals mühsame mathematische Argumentationsarbeit ersparen würde, ändert nichts daran und würde zu falschen
Ergebnissen führen. Fangen wir doch mal mit einem einfachen Beispiel an. Was würdest du erwarten, wenn du $$\infty+\infty$$ berechnest? \(2\cdot \infty\)? Nein! \(\infty+\infty=\infty\). Warum das so
ist, werden wir in einem anderen Video besprechen. Du sollst jetzt erstmal lernen, dass man mit \(\infty\) auf keinen Fall wie mit einer Zahl rechnen sollte. Das führt in Klausuren nur zu
vermeidbaren Punktabzügen. Wenn \(\infty+\infty=\infty\), kann man dann $$\infty-\infty=0$$ schreiben? Nein, auf gar keinen Fall! Das ist ein falscher Freund. Es handelt sich hierbei um einen
unbestimmten Ausdruck. Davon hast du sicherlich schon einmal gehört, wenn du dich mit der Regel von L'Hospital beschäftigt hast. Weitere solcher unbestimmter Ausdrücke sind:
- \(\frac{\infty}{\infty}\) (Nein, das kürzt sich nicht zu \(1\)),
- \(\infty^0\) (Nein, das ergibt nicht \(1\)),
- \(\infty\cdot 0\) (Nein, das ergibt nicht \(0\); auch \(0\cdot \infty\) ist nicht \(0\)) und
- \(1^{\infty}\) (Nein, das ergibt nicht \(1\), auch wenn diese Überlegung verlockend ist).
- \(\infty-\infty=0\)
- \(\frac{\infty}{\infty}=1\)
- \(\infty^0=1\)
- \(\infty\cdot 0=0\cdot\infty=0\)
- \(1^{\infty}=1\)
- \(0^0\) (das ist weder \(1\), noch \(0\)) und
- \(\frac{0}{0}\) (das kürzt sich weder zu \(1\), noch zu \(0\))