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Dezimalzahl in ALLE Zahlensysteme umrechnen

1. Einführung

Wenn du Dezimalzahlen in verschiedene Zahlensysteme umrechnest, wirst du sehr schnell feststellen, dass hinter der Berechnung ein Muster steckt, das unabhängig von der verwendeten Zahlenbasis immer gleich abläuft. Wenn du dieses Muster für eine allgemeine Zahlenbasis \(g\) formulierst, kannst du mit nur einem Algorithmus eine Zahl in ein beliebiges Zahlensystem umrechnen.

2. Der Algorithmus

Und so funktioniert es
Algorithmus: Dezimal in Binär umrechnen

Eingabe: Zahl \(p\) im Dezimalsystem
Ausgabe: Zahl im Zahlensystem zur Basis \(g\)
  1. Teile die Zahl \(p\) durch \(g\) (mit Rest): \(p\div g=q\text{ R: } r\)
    Beispiele:
    • \(8\div 2 = 4\text{ R: }0\)
    • \(19\div 16 = 1\text{ R: }3\)
  2. Teile das Ergebnis \(q\) durch \(g\) und notiere das Ergebnis wie in Schritt 1.
  3. Wiederhole Schritt 2 so lange, bis du als Ergebnis \(q=0\) erhältst.
  4. Lies das Ergebnis ab. Das machst du durch Hintereinanderschreiben der Reste, die beim Teilen entstanden sind (in der Reihenfolge von „unten“ nach „oben“).

Du wirst mit diesem Algorithmus nun die Zahl \(42\) in vier verschiedene Zahlensysteme übersetzen: Nämlich in ein Zahlensystem zur Basis \(g=2\) (also das Binärsystem), zur Basis \(g=5\) (das Quintalsystem), zur Basis \(g=8\) (das Oktalsystem) und zur Basis \(g=16\) (das Hexadezimalsystem).

Beispiel: Gesucht ist die Darstellung der Dezimalzahl \(42\) im Zahlensystem zur Basis \(g=2\) (Binärsystem).

\(42\div 2 = 21\text{ R: }0\)
\(21\div 2 = 10\text{ R: }1\)
\(10\div 2 = 5\text{ R: }0\)
\(5\div 2 = 2\text{ R: }1\)
\(2\div 2 = 1\text{ R: }0\)
\(1\div 2 = 0\text{ R: }1\)
Die Zahl \(42\) im Dezimalsystem lautet im Zahlensystem zur Basis \(2\) also \(101010\).

Wichtig: Das Ergebnis ist nicht \(010101\), denn die Reste werden von „unten“ nach „oben“ hintereinandergeschrieben. So verhält es sich übrigens auch bei den anderen Zahlensystemen.

Beispiel: Gesucht ist die Darstellung der Dezimalzahl \(42\) im Zahlensystem zur Basis \(g=5\) (Quintalsystem).

\(42\div 5 = 8\text{ R: }2\)
\(8\div 5 = 1\text{ R: }3\)
\(1\div 5 = 0\text{ R: }1\)
Die Zahl \(42\) im Dezimalsystem lautet im Zahlensystem zur Basis \(5\) also \(132\). Es gibt in diesem Zahlensystem nur die Ziffern \(0\) bis \(4\) (also \(1\) weniger als die Zahlenbasis \(g\)).

Beispiel: Gesucht ist die Darstellung der Dezimalzahl \(42\) im Zahlensystem zur Basis \(g=8\) (Oktalsystem).

\(42\div 8 = 5\text{ R: }2\)
\(5\div 8 = 0\text{ R: }5\)
Die Zahl \(42\) im Dezimalsystem lautet im Zahlensystem zur Basis \(8\) also \(52\). Es gibt in diesem Zahlensystem nur die Ziffern \(0\) bis \(7\) (also \(1\) weniger als die Zahlenbasis \(g\)).

Beispiel: Gesucht ist die Darstellung der Dezimalzahl \(42\) im Zahlensystem zur Basis \(g=16\) (Hexadezimalsystem).

\(42\div 16 = 2\text{ R: }a\)
\(2\div 16 = 0\text{ R: }2\)
Die Zahl \(42\) im Dezimalsystem lautet im Zahlensystem zur Basis \(816\) also \(2a\). Es gibt in diesem Zahlensystem nur die Ziffern \(0\) bis \(15\) (also \(1\) weniger als die Zahlenbasis \(g\)). Da alle Ziffern \(\geq 10\) selbst wiederum Hexadezimalzahlen sind, werden ab der \(10\) Buchstaben (beginnend ab 'a') verwendet, also \(10=a, 11=b, 12=c, 13=d, 14=e\) und \(15=f\).

3. Zahlensystemrechner

Mit dem folgenden Tool kannst du die Umwandlung von Dezimalzahlen ins Zahlensystem zur Basis \(g\) (mit \(g \leq 9\) und \(g=16\)). vornehmen und bekommst dabei eine ausführliche Schritt-für-Schritt-Lösung präsentiert. Trage dazu deine gewünschte Zahl in das Eigabefeld ein, wähle per Dropdown das Zahlensystem aus und drücke anschließend den Button 'Umrechnen'.

Zahlensystem:




Ein kurzes Video-Tutorial zu diesem Thema findest du hier auf meinem Kanal Informatik by André Dalwigk.

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